Sind a und b reelle Zahlen und n, r und s natĂŒrliche Zahlen, gilt:

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• a⁰ = 1

Der letzte Punkt folgt aus

.

Da man nicht durch Null dividieren darf, hat 0⁰ keinen durch die Potenzgesetze definierten Wert. Meist definiert man 0⁰ = 1, es gibt aber auch Anwendungen, in denen andere Definitionen sinnvoller sind.

Sind n und m ganze Zahlen (n ≠ 0), sowie a eine positive, reelle Zahl, dann definiert man:

AusdrĂŒcke wie sind zwar auch definiert, jedoch ist undefiniert, da man kĂŒrzen kann zu , aber ungleich ist.

siehe auch Wurzel (Mathematik)

Potenzen positiver reeller Zahlen mit beliebigen reellen Exponenten sind so definiert:

Dabei ist exp die Exponentialfunktion und ln der natĂŒrliche Logarithmus.

Ist a + bi = r · e^φ mit reellen Zahlen a, b, r (r > 0), φ, dann gilt

Das Wurzelziehen ist bei komplexen Zahlen nicht eindeutig, es ergeben sich n verschiedene n-te Wurzeln einer komplexen Zahl a + bi ≠ 0:

Beliebige reelle oder komplexe Potenzen beliebiger komplexer Zahlen lassen sich zwar durch die Formel a^b := exp(b · ln a) definieren, aber da der komplexe Logarithmus unendlich viele Werte annimmt, hat man unendlich viele verschiedene Potenzen.

Im alltÀglichen Leben werden Potenzen mit der Basis 10 (1, 10, 100, 1000, ...) wohl am hÀufigsten benutzt. Sie bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, dem Dezimalsystem.

Zu digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 benutzt. Die GrĂ¶ĂŸeneinheiten digitaler Speichersysteme sind Potenzen zur Basis zwei. Ein Kibibyte KiB (noch häufig veraltend Kilobyte KB genannt) sind 2¹⁰ = 1024 Byte.

FĂŒr die Mathematik sind besonders Potenzen mit der Basis e, der Eulerschen Zahl (~2,71828), wichtig.

• Wurzel (Mathematik)
• Logarithmus
• Exponentialfunktion
• Binomische Formeln
• geometrische Reihe
• Potenzfunktion